[不等式] 一个优美的不等式

设$x_1,x_2,x_3,x_4为正数，且\prod_{i=1}^{4}{x_i}=1，证明：\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{1+x_i+x_i^2+x_i^3}\ge1$
PS、我准备用函数$y=1+e^x+e^{2x}+e^{3x}的凸凹性再结合Jensen$不等式来证明，可是这个函数是先上凸再下凸的,解决不了。
高手们，有没有好的方法呢？谢谢大家思考一下。

早前见过，除了半凹半凸定理之外暂时没什么办法。
不过印象中杨学枝有个证明，有空找找看。

2# kuing
杨学枝的解法在$P66$我看过，通过构造了$$\frac{1}{1+x_1+x_1^2+x_1^3}+\frac{1}{1+x_2+x_2^2+x_2^3}\ge\frac{1}{1+\sqrt{x_1^3x_2^3}}$$解决了，不过对这个构造的不等式的证明看起挺复杂的。

翻到了这个链接
http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=52&t=314320

4# kuing
半凹半凸定理对于证明本题是个好方法。

请教一下，对于$a,b,c\in R^+,记s_1=a+b+c,s_2=ab+bc+ca,s_3=abc, 能否证明9s_3^2-4s_1s_3+1\ge0？$