[不等式] 来自人教论坛的关于“IMO42-2”的“新推广”

来自：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2637145

已知 $a$, $b$, $c$ 是正数，$n$ 是正整数，求证：
\[\frac a{\sqrt[n]{a^n+(3^n-1)b^{\frac n2}c^{\frac n2}}}+\frac b{\sqrt[n]{b^n+(3^n-1)c^{\frac n2}a^{\frac n2}}}+\frac c{\sqrt[n]{c^n+(3^n-1)a^{\frac n2}b^{\frac n2}}}\geqslant1.\]

贴里说是新推广，其实这跟我09年做安振平的征解题时的一道题等价。
具体地，作置换 $a^{\frac n2}\to a$, $b^{\frac n2}\to b$, $c^{\frac n2}\to c$，那么原不等式等价于
\[\sqrt[n]{\frac{a^2}{a^2+(3^n-1)bc}}+\sqrt[n]{\frac{b^2}{b^2+(3^n-1)ca}}+\sqrt[n]{\frac{c^2}{c^2+(3^n-1)ab}}\geqslant1,\]
而这就是附件中的题目。