[组合] 正八面体的顶点染色

用红蓝两种颜色染色一个正八面体的顶点，要求每个顶点都染上色，有多少种染法？能旋转重合认为是同一种

(42.03 KB)

2012-12-31 09:23

做出后换3色，或4色或5色，或6色

0红，  1种
1红5蓝，1种
2红4蓝，2种，（2红相对顶点与相邻顶点）
3红3蓝，2种，（有2个为一对顶点或3红为一个面）
4红2蓝，2，同上
5红       1
6红       1
合计有10种

1色1种；

2色2+8=10种；

3色57种如下：
6顶点同一种颜色3种，
6顶点两种颜色$8×C_3^2=24$种,8已在2楼得出.
6顶点三种颜色齐全合计30种.①1个顶点红2个黄3蓝合计5种，其中2黄为相对顶点1种，2黄为相邻顶点的有2种，1黄2红3蓝等都一样多，---合计$3A_3^3=18$种；②2红2黄2蓝，同色恰好都是相对的顶点，1种；有且仅有某1种颜色恰好是相对顶点，3种；同色都没有在相对顶点的，2种；---合计6种；③4红1黄1蓝，黄蓝在相对顶点1种，黄蓝顶点相邻1种，4蓝1红1黄等同样多，合计2×3=6种；

4色216种如下：
同一种颜色4种，
两种颜色$8×C_4^2=48$种,
三种颜色$30×C_4^3=120$,
四色齐全合计44种.①3红1黄1蓝1绿，3红任何2点都不在相对顶点有2种，3红有2个在相对顶点3种；3黄1红1蓝1绿等也一样多，合计有$5C_4^1=20$种；②2红2黄1蓝1绿，红黄都在相对的顶点，1种，合计$C_4^2=6$种，红黄仅1色在相对顶点，比如红，有2种，合计$2C_4^1C_3^1=24$种

5色740种如下：
同一种颜色5种，
两种颜色$8×C_5^2=80$种,
三种颜色$30×C_5^3=300$,
四色$44×C_5^4=220$种.
五种颜色齐全135种.2红其它1，2红在相对顶点，3种；2红在相邻顶点$A_4^4=24$种；合计$(24+3)C_5^1=135$种

6色2226种如下：
同一种颜色6种，
两种颜色$8×C_6^2=120$种,
三种颜色$30×C_6^3=600$,
点四色$44×C_6^4=660$种.
五色$135×C_6^5=810$种
6色齐全的30种.与红色相对顶点的颜色有$C_5^1$种，再接下来选定第三个顶点，与它相对的有$C_3^1$种，所以一共$15C_2^1=30$种

$n(n\ge{7})$色有$n+8C_n^2+30C_n^3+44C_n^4+135C_n^5+30C_n^6$种，
-----ps，有错误通知我下，旋转不能重合的算不同，

2种的好算，请问有答案吗？一位网友说他只解用3种颜色和6种颜色涂的，说3种的有57种方法，6种的有2226种方法，感觉好多啊，具体怎么做他没说就下线了，楼主得出3种的方法了吗？是57吗？

没答案的，想不到真有人也在玩啊，我会写在2楼的3~7色。看来直接求比如5色很难，但逐步从2色~7色几乎没什么难度了.

正方体也应该可以这样出来吧，只需要耐心和细心

1 波利亚计数定理（萧文强）.pdf
有网友推荐看这个，新浪爱问上有免费下

1黄2红3蓝，2红为相邻顶点的有4种，我就找出来两种
第一种是3，4是红，2是黄
第二种是3，4是红，1是黄
还有哪两种？

8# abababa
果然错了，已经在原贴修改

这样三种颜色就真有57种涂法啊，看来4楼那位网友的解答可能是正确的

4种往上我想不动了，不弄了
请问楼主知道用什么软件画立体几何图形好点吗？

不知道，6种我检查了，是漏了，这下很有可能都对了

刚问了下4色和5色的，那位网友说是240种和800种，没说怎么算的，我是算不动了，楼主再看看？

如果这样，会比6色2226多很多.应该不会错了，如果6色是2226的话，因为我的算法，前面的影响后面.
正四面体.
依次是1~4色，再n色，有几种？
补充说明：旋转能重合的算同一种；旋转不能重合，但镜像对称的算不同；颜色可以用一部分，顶点必须都染色.
1色 就1种.
2色 2+3=5种.
3色 $3+3C_3^2+3=15$种.
4色 $4+3C_4^2+3C_4^3+2=36$种.
n色($n\ge{5}$)$C_n^1+3C_n^2+3C_n^3+2C_n^2$种.
正方体这样做累,看来得看那个网友推荐的.

虽然我这么说没什么根据，但会不会有可能前边少算了，后边多算了呢，一加一减也有可能得数正确
但我没根据，4以上的我自己也想不动，完全是按网友给的答案来的，他就说个答案，可能是想让我动脑想想吧，但确实想不动了

恩，还会不时来检验的，刚才给小孩洗澡去了