来自群的三角形最小边求参数最小值 $a^2+b^2>mc^2$

题目：设 $a$、$b$、$c$ 是三角形的三边长，$m$ 为正整数，只要 $a^2+b^2>mc^2$，就有 $c$ 是该三角形最短边，则 $m$ 的最小值是（  ）。


这个题貌似很容易把逻辑搞乱了，下面玩玩。
我们不限 $m$ 为正整数，改成：求实数 $m$ 的范围，使得
对满足 $a^2+b^2>mc^2$ 的所有三角形三边 $a,b,c$ 都满足 $a\geqslant c \wedge b\geqslant c$。
这也等价于：
对满足 $a<c \vee b<c$ 的所有三角形三边 $a,b,c$ 都满足 $a^2+b^2\leqslant mc^2$。
故只要求出当 $c$ 不是最短边时 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$ 的上确界，只要 $m$ 不小于这个上确界即可。
若 $c$ 为最大边，那么
\[\frac{a^2+b^2}{c^2}\leqslant \frac{c^2+c^2}{c^2}=2,\]
当 $a=b=c$ 时取等；
若 $c$ 不是最大边，由于也不是最短边，由对称性，不妨设 $a<c<b$，则由三边的条件，有
\[b<c+a<2c\implies \frac bc<2,\]
故
\[\frac{a^2+b^2}{c^2}< \frac{c^2+b^2}{c^2}=1+\left(\frac bc\right)^2<5,\]
下面证明这个 $5$ 就是上确界。取 $a=1-t, c=1+t, b=2-u, t, u>0$ 且 $t+u<1$，这显然满足 $a<c<b<c+a$，此时令 $t,u\to0$ 则显然 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}\to5$。
故此综上，当 $c$ 不是最短边时 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$ 的上确界是 $5$。因此，$m$ 的取值范围是 $[5,+\infty)$。

后面分类有点多余，完全不必分类，只要不妨设 $c>a$ 后面照样。

kuing威武

3# nash


咳，别说威武了，那天好像是你先在群里发的，我当时看上去应该没什么难，我没理会就让你们玩。刚才看回才发现我一开始差点把逻辑搞错了，呵呵，所以还是写了写。再说，现在还是有多余的东西，改良一下写成如下：

求实数 $m$ 的范围，使得对满足 $a^2+b^2>mc^2$ 的所有三角形三边 $a,b,c$ 都满足 $a\geqslant c \wedge b\geqslant c$。
等价于：对满足 $a<c \vee b<c$ 的所有三角形三边 $a,b,c$ 都满足 $a^2+b^2\leqslant mc^2$。
可见只要求出当 $c$ 不是最短边时 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$ 的上确界，只要 $m$ 不小于这个上确界即可。
由 $a,b$ 的对称性，不妨设 $a\leqslant b$，则由 $c$ 不是最短边，必有 $a<c$。由三边的条件，有
\[b<c+a<2c\implies \frac bc<2,\]
故
\[\frac{a^2+b^2}{c^2}< \frac{c^2+b^2}{c^2}=1+\left(\frac bc\right)^2<5,\]
下面证明这个 $5$ 就是上确界。取 $a=1-t, c=1+t, b=2-u, t>0, 1\geqslant u>0$，这显然满足所设，此时令 $t,u\to0$ 则显然 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}\to5$，因此当 $c$ 不是最短边时 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$ 的上确界是 $5$。
所以，$m$ 的取值范围是 $[5,+\infty)$。

4# kuing
当$m=5$时，$a^2+b^2=5c^2$有一个奇妙的垂直性质。